La representación de la teoría de conjuntos. Los diagramas de Venn.

El 4 agosto de 1834, nacía el matemático y lógico británico John Venn (Drypool, 4 de agosto de 1834 – Cambridge, 4 de abril de 1923).

vennDespués de pasar un tiempo en la Escuela de Highgate, entró en el Colegio de Gonville y Caius, en Cambridge, en 1853. Se graduó en 1857 y pronto fue elegido profesor adjunto de la escuela. Fue ordenado diácono de Ely en 1858 y se convirtió en reverendo de la iglesia en 1859. En 1862 regresó a Cambridge como profesor de ciencias morales.

El área de mayor interés para Venn era la lógica, y publicó tres textos sobre el tema. Escribió The Logic of Chance (Lógica del Azar), que introdujo la teoría de frecuencia de la probabilidad, en 1866, Symbolic Logic (Lógica Simbólica), que presentaba los diagramas de Venn, en 1881, y The Principles of Empirical Logic (Los Principios de la Lógica Empírica), en 1889.

En 1883, Venn fue elegido miembro de la Royal Society. En 1897, escribió una historia de su vida universitaria, llamada The Biographical History of Gonville and Caius College, 1349–1897. Comenzó una compilación de notas biográficas de alumnos de la Universidad de Cambridge, trabajo que continuó su hijo John Archibald Venn (1883-1958), publicado como Alumni Cantabrigienses, en 10 volúmenes, entre 1922 y 1953.

Falleció en 1923, a la edad de 88 años, en Cambridge, y fue sepultado en el cercano cementerio de la Iglesia Trumpington.

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.  La finalidad de los diagramas de Venn es representar y mantener relaciones entre ellos, al conseguir una intersección, inclusión o disyunción en base a la posición en la que se coloquen. Por medio de sus relaciones se identifican visualmente las similitudes y diferencias entre grupos. Los diagramas de Venn también pueden superponerse, contenerse y oponerse.

venn3Los diagramas de Venn permiten, además, una comprobación de la verdad o falsedad de un silogismo.

Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo titulado De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos, que tuvo gran repercusión en el mundo de la lógica formal. Los diagramas de Venn tienen varios antecedentes. La primera representación gráfica de deducciones lógicas —y, en particular, de silogismos— se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz. Variantes de la misma fueron empleadas luego por George Boole y Augustus De Morgan, pero fue el gran matemático suizo Leonhard Euler quien primero introdujo una notación clara y sencilla. El siguiente diagrama muestra de otro modo la relación de inclusión del ejemplo dado en la introducción.

Si bien fue Venn quien introdujo la expresión “universo del discurso”, él nunca representó al universal en sus trabajos. Por eso la idea de conjunto universal se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll, el lógico y autor de cuentos para niños que popularizó el concepto de conjunto complementario. El conjunto universal fue cuestionado por Bertrand Russell, quien mostró que con tal concepto la teoría de conjuntos resultaba inconsistente. Sin embargo, dicha definición fue rescatada y aun justificada en una reciente extensión de los diagramas de Venn que distingue al universal del Todo (universo del discurso). Por las dos razones recién mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a convertirse en el nuevo estándar para la formalización de operaciones lógicas y los sistemas de representación anteriores cayeron en desuso.

venn2Tiempo después de la aparición del primer artículo, Venn desarrolló algo más su nuevo sistema en el libro Lógica simbólica, publicado en 1881 y cuyo propósito era interpretar y revisar los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Este libro sirvió sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas. Otro libro de Venn que ayudó a divulgar el nuevo sistema de representación fue el titulado Los principios de la lógica empírica o inductiva, publicado en 1889.

La primera constancia escrita del uso de la expresión “diagrama de Venn” es muy tardía (1918) y se encuentra en el libro A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.

Posteriormente, y gracias a su claridad y sencillez, sus diagramas se popularizaron y fueron utilizados para mostrar visualmente las operaciones más elementales de la teoría de conjuntos, desarrollada desde 1874 por Georg Cantor a partir de las ideas de Bernhard Bolzano y perfeccionada, ya en el siglo XX, por Ernst Zermelo.

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Publicado el 4 agosto, 2015 en Matemáticas. Añade a favoritos el enlace permanente. Deja un comentario.

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