La interpretación geométrica de los números complejos; Argand.

El 13 de agosto de 1822, fallecía el matemático autodidácta francés Jean Robert Argand (18 de julio de 1768 – 13 de agosto de 1822).

argandSu conocimiento de matemáticas fue puramente autodidacta.

En 1806 publicó a sus expensas su Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques (Ensayo sobre una forma de representar las cantidades imaginarias mediante construcciones geométricas). En 1813 este ensayo fue republicado en la revista francesa Annales de Mathématiques para un público más especializado.

El ensayo discute un método de representación gráfica de los números complejos a través de la geometría analítica. Propone la interpretación del valor i como una rotación de 90 grados en el plano coordenado, llamado para este fin plano de Argand.

El asunto de los números complejos también estaba siendo estudiado por otros matemáticos coetáneos a Jean-Robert, como Carl Friedrich Gauss y Caspar Wessel. En particular, una comunicación de Wessel en 1799 de una técnica gráfica similar no llamó tanto la atención como la que sí logró el ensayo de Argand.
En matemáticas, el plano complejo es una forma de visualizar y ordenar el conjunto de los números complejos. Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte real está representada en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas. El eje de abscisas también recibe el nombre de eje real y el eje de ordenadas el nombre de eje imaginario. Asimismo, cualquier campo de números complejos se puede representar en su forma polar, formando así un plano polar, en el que el valor absoluto, módulo o magnitud representa la longitud de un vector y su argumento es equivalente al ángulo del mencionado vector.

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos.

wesel2El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss

El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso en diagramas de Argand. Su creación se atribuye a Jean-Robert Argand, aunque fue inicialmente descrito por el encuestador y matemático Noruego-danés Caspar Wessel.

En 1796 Caspar Wessel escribió su primer y único documento matemático en el cual expresaba la interpretación geométrica de los números complejos y lo presentó en una reunión de la Real Academia Danesa el 10 de marzo de 1797 ” Ensayo sobre la dirección analítica de la dirección”, primer texto sobre la representación geométrica de los números complejos, aparecido en 1799 en las memorias de la Academia Real de Dinamarca, y desconocido para el mundo hasta su traducción en 1897.

“Sea +1 la unidad rectilínea positiva y +ε otra unidad perpendicular a la unidad positiva tomada antes, teniendo ambas el mismo origen; entonces el ángulo de la dirección de +1 resulta igual a 0º, y por lo tanto para −1 es 180º, para +ε es 90º, y para −ε es −90º o 270º. Por la regla que establece que el ángulo de la dirección del producto es igual a la suma de los ángulos de los factores, tenemos:(+1)(+1)=+1;(+1)(−1)=−1; (−1)(−1)=+1; (+1)(+ε)=+ε;(+1)(−ε)= −ε;(−1)(−ε)=+ε; (+ε)(+ε)=−1; (+ε)(−ε)=+1; (−ǫ)(−ǫ)=−1. De este resultado se observa que ε es igual al √(-1), y que la divergencia del producto se determina de tal forma que ninguna de las reglas operativas comunes son contravenidas.”

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.

Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

wesel3El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áras de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

En el ensayo Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques, Argand también propone por vez primera la idea de módulo para indicar la magnitud de los vectores y los números complejos, así como la típica notación para los vectores con una flecha horizontal sobre las letras que señalan sus extremos.

Argand también es reconocido por ofrecer una prueba del teorema fundamental del álgebra en su obra de 1814 Réflexions sur la nouvelle théorie d’analyse (Reflexiones sobre la nueva teoría de análisis [matemático]). Fue la primera prueba rigurosa y completa del teorema, y también la primera prueba en generalizar el teorema fundamental del álgebra para incluir polinomios con coeficientes complejos.

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. El dominio de la variable es el conjunto de los números complejos, que es una extensión
de los números reales.

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d’Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema.

weselA finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.

La prueba de este fundamental teorema de análisis matemático fue pronto referenciada por eminentes matemáticos, como en el Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique de Cauchy (en su primera edición de 1821, sin atribución de la rigurosa prueba a su autor, Jean-Robert Argand) y en el influyente libro de texto Algebra: An Elementary Text-Book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges de George Chrystal. En 1978 fue denominada por la revista especializada The Mathematical Intelligencer una prueba “tanto ingeniosa como profunda”.

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Publicado el 13 agosto, 2015 en Matemáticas. Añade a favoritos el enlace permanente. Deja un comentario.

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